1 一元二次方程
1.1 判別式
一元二次方程的一般形式為
\[ ax^2 + bx + c = 0, \qquad a \neq 0, \tag{1.1}\]
其中 \(a\)、\(b\)、\(c\) 均為實數。式子
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
稱為 方程 1.1 的判別式，它決定了方程的根的性質。
| 判別式 | 根的性質 |
|---|---|
| \(\Delta > 0\) | 兩個不相等的實根 |
| \(\Delta = 0\) | 兩個相等的實根（重根） |
| \(\Delta < 0\) | 沒有實根（兩個複數根） |
方程 1.1 的根為
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]
1.2 例題
例題 1.1 (求 \(k\) 的取值範圍) 已知方程 \(x^2 + kx + (k + 3) = 0\) 有兩個不相等的實根，求 \(k\) 的取值範圍。
解。 這裏 \(a = 1\)、\(b = k\)、\(c = k + 3\)，所以
\[ \Delta = k^2 - 4(1)(k + 3) = k^2 - 4k - 12 = (k - 6)(k + 2). \]
有兩個不相等的實根即 \(\Delta > 0\)，故 \((k - 6)(k + 2) > 0\)。兩個因式同號時 乘積為正，因此
\[ k < -2 \quad \text{或} \quad k > 6. \]
1.3 根與係數的關係
若 \(\alpha\) 及 \(\beta\) 為 方程 1.1 的兩根，則
\[ \alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}. \]
利用這兩條關係式，即使不解方程，也可以回答關於根的問題。
例題 1.2 (運用兩根之和與兩根之積) 設 \(\alpha\) 及 \(\beta\) 為 \(2x^2 - 5x + 1 = 0\) 的兩根，求 \(\alpha^2 + \beta^2\)。
解。 已知 \(\alpha + \beta = \tfrac{5}{2}\)，\(\alpha\beta = \tfrac{1}{2}\)，故
\[ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{25}{4} - 1 = \frac{21}{4}. \]
1.4 練習
- 用因式分解法解 \(3x^2 - 7x + 2 = 0\)。
- 方程 \(x^2 - 2mx + (m + 6) = 0\) 有兩個相等的實根，求 \(m\) 的所有可能值。
- 設 \(\alpha\) 及 \(\beta\) 為 \(x^2 + 4x - 9 = 0\) 的兩根，求 \(\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}\)。
- 寫出一個以 \(3 + \sqrt{2}\) 及 \(3 - \sqrt{2}\) 為根的一元二次方程。
答案
- \(x = \tfrac{1}{3}\) 或 \(x = 2\)。
- \(m = -2\) 或 \(m = 3\)。
- \(\tfrac{4}{9}\)。
- \(x^2 - 6x + 7 = 0\)。