3 坐標幾何
3.1 距離、中點與斜率
設 \(A(x_1, y_1)\) 及 \(B(x_2, y_2)\) 為兩點：
\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}, \qquad M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right), \]
\[ m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad (x_1 \neq x_2). \]
兩條非垂直的直線平行時 \(m_1 = m_2\)；互相垂直時 \(m_1 m_2 = -1\)。
3.2 直線方程
| 形式 | 方程 | 適用情況 |
|---|---|---|
| 斜截式 | \(y = mx + c\) | 已知斜率及 \(y\) 軸截距 |
| 點斜式 | \(y - y_1 = m(x - x_1)\) | 已知一點及斜率 |
| 一般式 | \(Ax + By + C = 0\) | 任何直線，包括垂直線 |
例題 3.1 (垂直平分線) 求連接 \(A(1, 2)\) 及 \(B(5, -6)\) 的線段的垂直平分線方程。
解。 中點為 \(M = (3, -2)\)，而
\[ m_{AB} = \frac{-6 - 2}{5 - 1} = -2, \]
故垂直平分線的斜率為 \(\tfrac{1}{2}\)。用點斜式得
\[ y + 2 = \tfrac{1}{2}(x - 3) \quad \Longrightarrow \quad x - 2y - 7 = 0. \]
3.3 圓
圓心為 \((a, b)\)、半徑為 \(r\) 的圓，其方程為
\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, \tag{3.1}\]
展開後得一般式
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0, \tag{3.2}\]
其圓心為 \(\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)\)，半徑為 \(\sqrt{\tfrac{D^2 + E^2}{4} - F}\)。
只有當 \(\tfrac{D^2 + E^2}{4} - F > 0\) 時，方程 3.2 才代表一個真正的 圓。若該式等於零，方程只代表一個點；若小於零，則沒有任何實點。
3.4 練習
- 求 \((-3, 4)\) 與 \((2, -8)\) 之間的距離。
- 求 \(x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0\) 的圓心及半徑。
- 直線 \(2x - 3y + 6 = 0\) 經過 \(P(a, 4)\)，求 \(a\)。
答案
- \(13\)。
- 圓心 \((3, -4)\)，半徑 \(6\)。
- \(a = 3\)。