2 函數與圖像
2.1 函數符號
函數 \(f\) 為其定義域內的每一個輸入值 \(x\) 指定唯一一個輸出值 \(f(x)\)。所有 輸出值組成的集合稱為值域。
例題 2.1 (求函數值) 設 \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\)，求 \(f(-2)\) 及 \(f(a + 1)\)。
解。
\[ f(-2) = 2(-2)^2 - 3(-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15, \]
\[ f(a + 1) = 2(a + 1)^2 - 3(a + 1) + 1 = 2a^2 + a. \]
2.2 二次函數的圖像
\(y = ax^2 + bx + c\) 的圖像是一條拋物線。用配方法可得頂點式
\[ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}, \]
因此頂點的 \(x\) 坐標為 \(-\dfrac{b}{2a}\)，對稱軸就是經過頂點的垂直線。
- 若 \(a > 0\)，拋物線開口向上，頂點為最小值。
- 若 \(a < 0\)，拋物線開口向下，頂點為最大值。
貼士應試技巧
必修部分的最值問題幾乎全部都可以化為求拋物線頂點。請用配方法，不要靠估。
例題 2.2 (求最大面積) 某人靠著一道直牆圍出一個長方形圍欄，其餘三邊共用 \(40\) 米圍欄。求可圍出的最大 面積。
解。 設垂直於牆的兩邊長為 \(x\) 米，則平行於牆的一邊長為 \(40 - 2x\) 米， 面積為
\[ A(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x = -2(x - 10)^2 + 200. \]
由於 \(x^2\) 的係數為負，\(A\) 在 \(x = 10\) 時取得最大值，最大面積為 \(200 \text{ m}^2\)。
2.3 圖像的變換
以 \(y = f(x)\) 為起點：
| 變換 | 新方程 | 效果 |
|---|---|---|
| 向上平移 \(k\) | \(y = f(x) + k\) | 沿 \(+y\) 方向移 \(k\) 個單位 |
| 向右平移 \(h\) | \(y = f(x - h)\) | 沿 \(+x\) 方向移 \(h\) 個單位 |
| 對 \(x\) 軸反射 | \(y = -f(x)\) | 上下翻轉 |
| 對 \(y\) 軸反射 | \(y = f(-x)\) | 左右翻轉 |
| 垂直伸縮 | \(y = k f(x)\) | \(y\) 值乘以 \(k\) |
2.4 練習
- 設 \(f(x) = x^2 - 6x + 5\)。把 \(f(x)\) 寫成頂點式，並寫出頂點的坐標。
- 把 \(y = f(x)\) 的圖像向左平移 \(3\) 個單位，再向下平移 \(2\) 個單位。用 \(f\) 表示新圖像的方程。
- 求 \(-3x^2 + 12x - 7\) 的最大值。
答案
- \(f(x) = (x - 3)^2 - 4\)；頂點為 \((3, -4)\)。
- \(y = f(x + 3) - 2\)。
- 最大值為 \(5\)，在 \(x = 2\) 時取得。